LİMİT A. SOLDAN YAKLAŞMA, SAĞDAN YAKLAŞMA
x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve Click here to enlarge biçiminde gösterilir.
x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve Click here to enlarge biçiminde gösterilir.
B. LİMİT KAVRAMI
Limit kavramını bir fonksiyonun grafiği üzerinde açıklayalım:
Click here to enlarge
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(x1, y4) , B(x2, y3) , C(x3, y2) , D(x4, y1), ... noktalarını göz önüne alalım:
Bu noktaların apsisleri olan x1, x2, x3, x4, ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatları
f(x1) = y4, f(x2) = y3, f(x3) = y2, f(x4) = y1, ... giderek b ye yaklaşır.
Bu durumu; x, a ya soldan yaklaşıyorken f(x) b ye yaklaşır şeklinde ifade edebiliriz. Bu durumda,
f(x) in x = a daki soldan limiti b dir denir. Ve
Click here to enlarge
şeklinde gösterilir.
Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan
E(x8, y5) , F(x7, y6) , G(x6, y7) , H(x5, y8) , ... noktalarını göz önüne alalım.
Bu noktaların apsisleri olan x8, x7 , x6 , x5 , ... giderek a ya yaklaşırken, ordinatlar f(x8) = y5 , f(x7) = y6 , f(x6) = y7 , f(x5) = y8 , ... giderek d ye yaklaşır.
Bu durumu �x, a ya sağdan yaklaşıyorken f(x) d ye yaklaşır.� şeklinde ifade edebiliriz.
Bu durumda; f(x) in x = a daki sağdan limiti d dir denir. Ve
Click here to enlarge
biçiminde gösterilir.

Kural
f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit ise fonksiyonun x = a da limiti vardır ve x in a noktasındaki limiti L ise,
Click here to enlarge
biçiminde gösterilir. x = a daki sağ limit ve sol limit değeri, fonksiyonun x = a daki limitidir.
f(x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit değil ise fonksiyonun x = a da limiti yoktur.


C. UÇ NOKTALARDAKİ LİMİT
Click here to enlarge
f fonksiyonu [a, b) aralığından [c, d) aralığına tanımlı olduğu için, uç noktalardaki limitleri araştırılırken, sadece tanımlı olduğu tarafın limitine bakılarak sonuca gidilir.
Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Buna göre,
Click here to enlarge

Kural
Click here to enlarge


D. LİMİTLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
Özellik
f ve g , x = a da limitleri olan iki fonksiyon olsun.
Click here to enlarge
Click here to enlarge

Özellik
Click here to enlarge

Özellik
Click here to enlarge

Özellik
Click here to enlarge

Özellik
Click here to enlarge

Özellik
Click here to enlarge


E. PARÇALI FONKSİYONUN LİMİTİ
Özellik
Click here to enlarge

F. İŞARET FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Özellik
f(x) = sgn [g(x)] olsun.
Click here to enlarge
Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.
Söz gelimi, f(x) = sgn(x2) fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır ve 1 dir.

G. TAM DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ
Özellik
Click here to enlarge
Bu sonuç genellikle doğrudur. Fakat az da olsa bu sonuca uymayan örnekler vardır.
Söz gelimi, Click here to enlarge fonksiyonunun x = 0 da limiti vardır.
Click here to enlarge

H. Click here to enlarge NİN x = a DAKİ LİMİTİ
Özellik
Click here to enlarge


I. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ
1. sinx in ve cosx in limiti
sinx ve cosx fonksiyonu bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,
Click here to enlarge
olur.

2. tanx in limiti
tanx fonksiyonu Click here to enlarge olmak üzere,
Click here to enlarge koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,
Click here to enlarge
olur.

Sonuç
Click here to enlarge


3. cotx in limiti
cotx fonksiyonu Click here to enlarge olmak üzere, Click here to enlarge koşuluna uyan bütün x reel değerleri için tanımlı olduğu için,
Click here to enlarge
olur.

Sonuç
Click here to enlarge


J. BELİRSİZLİK DURUMLARI
Click here to enlarge
belirsizlikleriyle karşılaştığımızda aşağıda verilen yöntemler kullanılarak limit hesaplanır. Bu limitler türevin içinde vereceğimiz L�Hospital kuralıyla da hesaplanabilir.

Kural
Click here to enlarge

Kural
m, n Î N olmak üzere,
Click here to enlarge
olur.

Kural
a > 0 olmak üzere, ¥¥ belirsizliği olan limitler,
Click here to enlarge
kuralını kullanarak hesaplanabilir.

Kural
Click here to enlarge
Buna göre, 0 × ¥ belirsizliği Click here to enlarge veya Click here to enlarge belirsizliğine dönüştürülerek sonuca gidilir.

Kural
Click here to enlarge


II. SÜREKLİLİK
Kural
Click here to enlarge
f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada süreklidir.
Sonuç
y = f(x) fonksiyonu x = a da sürekli ise,
Click here to enlarge

Uyarı
f(x) fonksiyonu apsisi x = a olan noktada sürekli değil ise, süreksizdir.

Kural
1. Bir fonksiyon bir noktada tanımsız ise, o noktada süreksizdir.
2. Bir fonksiyon bir noktada limitsiz ise, o noktada süreksizdir.
3. Bir fonksiyon bir noktada tanımlı ve limitli ancak, tanım değeri limit değerinden farklı ise, bu noktada süreksizdir.