MODÜLER ARİTMETİK
MODÜLER ARİTMETİK

a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,
b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}
bir denklik bağıntısıdır.
b denklik bağıntısı olduğundan
Her (a, b) Î b için,
a º b (mod m)
biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.

Ü Click here to enlarge
ise a º b (mod m)
a = b + mk, k Î Z


Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar:
0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.
Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları
Click here to enlarge
Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m biçiminde gösterilir.
Buna göre, Click here to enlarge
Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve
a º b (mod m)
c º d (mod m)
olmak üzere,
1) a + c º b + d (mod m)
2) a – c º b – d (mod m)
3) a . c º b . d (mod m)
4) an º bn (mod m)
5) a – b º 0 (mod m)
6) k . a º k . b (mod m) dir.
7) n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise Click here to enlarge
8) a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, Click here to enlarge dir.

Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.

Ü x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,
xm – 1 º 1 (mod m) dir.
x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.
Ü x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi
m = ak . b r . c p ve
Click here to enlargexT º 1 (mod m) dir.
Ü m asal sayı ise, (m – 1)! + 1 º 0 (mod m) dir.