PARABOL
A. TANIM

a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

Click here to enlarge

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.


Parabol, düzgün tel parçasının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.



B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası
T(r, k) olmak üzere, Click here to enlarge

Ü Parabol Click here to enlarge doğrusuna göre simetriktir.

Click here to enlarge

Click here to enlarge doğrusu parabolün simetri eksenidir.

y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır.

C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR
Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.
ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.

Click here to enlarge

Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde
D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.
D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez.
D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir.

D. x2 NİN KAT SAYISI OLAN a NIN İŞARETİ

1) Click here to enlarge
a > 0 ise, parabolün kolları yukarı doğru olup, f(x) in en küçük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır.


2) Click here to enlarge
a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktasının ordinatı olan k dır.


3) Click here to enlarge
|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin kat sayısı, g deki x2 nin kat sayısından büyüktür.


Ü f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,
1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.
2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.
3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.

E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI
1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

Click here to enlarge

y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) ... (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

Click here to enlarge
y = f(x) = a(x – r)2 + k ... (1) dir.
Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

Click here to enlarge
y1 = ax12 + bx1 + c ... (1)
y2 = ax22 + bx2 + c ... (2)
y3 = ax32 + bx3 + c ... (3)
Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.

F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU
y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile
y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.
f(x) = g(x)
ax2 + bx + c = mx + n
ax2 + (b – m)x + c – n = 0 ... («)

(«) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.
Buna göre, («) denkleminde;
D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.
D < 0 ise, parabol ile doğru kesişmez.
D = 0 ise, parabol doğruya teğettir.

Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.